Arithmetik — Division, Reste und die Dezimal-Falle

Das Problem, das wir lösen

Es gibt 17 Bücher und eine Kiste fasst 5. Wie viele Kisten, und wie viele Bücher bleiben übrig?

Die Antwort ist nicht 17 / 5. Das ergibt 3.4, und so etwas wie 3.4 Kisten gibt es nicht. Du brauchst zwei getrennte Antworten: wie viele ganze und wie viel übrigbleibt. Python hat für jeden einen Operator, und es stellen sich zwei der nützlichsten heraus, die du lernen wirst — Paginierung, Sekunden in Stunden und Minuten aufteilen, prüfen, ob eine Zahl gerade ist — alles kommt von hier.

Da ist noch ein zweites Ding, das jeden beim ersten Anblick stoppt: In Python ergibt 0.1 + 0.2 nicht 0.3. Warum das so ist und was du dagegen tun kannst, ist ebenfalls in diesem Kapitel.

Am Ende dieses Kapitels kannst du

• Die sieben arithmetischen Operatoren benutzen
• Sagen, welche Rechnung zuerst läuft und wann Klammern nötig sind
• Erkennen, wann // und % das richtige Werkzeug sind
• Erklären, warum / immer eine Dezimalzahl ergibt, auch wenn die Division aufgeht
• Berechnungen schreiben, die die Präzisionsgrenzen von Dezimalzahlen beachten

Voraussetzungen: Variablen und Typen.

Die sieben Operatoren

print(10 + 3)
print(10 - 3)
print(10 * 3)
print(10 / 3)
print(10 // 3)
print(10 % 3)
print(10 ** 3)

13
7
30
3.3333333333333335
3
1
1000

Die letzten drei brauchen noch ein paar Worte:

• // — Floor-Division. Dividiert und behält den ganzen Teil, verwirft den Rest
• % — Modulo, der Rest. Was nach der Division übrig bleibt
• ** — Potenz. 10 ** 3 ist zehn hoch drei

/ ergibt immer eine Dezimalzahl. Selbst 10 / 5 ergibt 2.0, nicht 2. Wenn der Typ davon abhinge, ob die Division aufgeht, wäre das Verhalten eines Programms unvorhersehbar; also hält sich Python hier an eine Regel: / bedeutet float. Wenn du eine ganze Zahl brauchst, nutze //.

Das Kistenproblem lösen

books = 17
per_box = 5

full_boxes = books // per_box
left_over = books % per_box

print("Full boxes:", full_boxes)
print("Left over :", left_over)

Full boxes: 3
Left over : 2

Drei Kisten füllen sich, 2 Bücher bleiben draußen. // und % gehören wie ein Paar zusammen — eines sagt „wie viele ganze“, das andere „wie viel übrigbleibt“.

Dasselbe Paar taucht an vielen anderen Stellen auf:

total_seconds = 500

minutes = total_seconds // 60
seconds = total_seconds % 60

print(minutes, "min", seconds, "sec")

8 min 20 sec

Und mit % prüft man gerade und ungerade. Teile eine beliebige Zahl durch 2, und der Rest ist 0 (gerade) oder 1 (ungerade):

print(14 % 2)
print(15 % 2)

0
1

Dieser Rest ist genau das, worauf ein späteres Kapitel über Bedingungen (if) aufbauen wird.

Welche Rechnung zuerst läuft

Python folgt den üblichen Regeln der Arithmetik — Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion:

print(10 + 5 * 2)
print((10 + 5) * 2)

20
30

In der ersten Zeile lief 5 * 2 zuerst, dann wurde 10 addiert. In der zweiten haben die Klammern die Reihenfolge geändert.

Von höchster zu niedrigster Priorität:

1. **
2. *, /, //, %
3. +, -

print(2 + 3 * 4 ** 2)

50

4 ** 2 ist 16, dann ist 3 * 16 gleich 48, und 2 + 48 ist 50.

Im Zweifel Klammern setzen. Selbst wenn du die Regeln kennst, ist (a + b) / 2 besser geschrieben als a + b / 2 — die nächste Person, die das liest, muss sich keine Regel mehr merken. Zusätzliche Klammern bremsen den Code nicht; sie machen ihn nur klarer.

Das ist der häufigste Anfängerfehler überhaupt, und er taucht beim Mittelwert auf:

a = 10
b = 20
c = 30

wrong = a + b + c / 3
right = (a + b + c) / 3

print("Wrong:", wrong)
print("Right:", right)

Wrong: 40.0
Right: 20.0

Das Programm warf keinen Fehler. Nichts in Rot, nichts kaputt — nur eine falsche Antwort. Das ist die gefährlichste Art von Bug überhaupt, denn Python wird dich nicht warnen. Nur wenn du die Rechnung selbst nachprüfst, findest du ihn.

Die Dezimal-Falle

print(0.1 + 0.2)

0.30000000000000004

Das ist nicht Pythons Schuld. Computer speichern Zahlen im Dualsystem, und 0.1 lässt sich im Dual nicht genau schreiben — so wie sich 1/3 im Dezimalsystem nicht genau schreiben lässt, wo 0.3333... unendlich weiterläuft. Also speichert der Computer etwas, das extrem nah daran liegt, und addiert man zwei davon, wird der winzige Unterschied sichtbar. JavaScript, Java und C verhalten sich genauso.

Zwei praktische Konsequenzen:

Erstens — beim Anzeigen runden:

total = 0.1 + 0.2
print(round(total, 2))

0.3

round(total, 2) bedeutet: behalte zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt.

Zweitens — vergleiche zwei Dezimalzahlen nie mit ==:

print(0.1 + 0.2 == 0.3)

False

Das ist die Falle, die in Finanzberechnungen falsche Antworten produziert. Ernsthafte Projekte halten ihr Geld nicht in einem float — sie speichern die kleinste Einheit als ganze Zahl (49.99 wird zu 4999), oder sie nutzen das separate Modul decimal. Vorerst genügt es zu wissen, wo die Grenze liegt; Module kommen später.

Ein vollständiges Beispiel

packing.py:

# Work out packing and shipping for one order
total_items = 47
items_per_box = 6
box_cost = 35.5

full_boxes = total_items // items_per_box
loose_items = total_items % items_per_box

# A partly filled box still costs a full box
boxes_needed = full_boxes
if loose_items > 0:
    boxes_needed = full_boxes + 1

shipping = boxes_needed * box_cost

print("Items        :", total_items)
print("Full boxes   :", full_boxes)
print("Loose items  :", loose_items)
print("Boxes needed :", boxes_needed)
print("Shipping     :", round(shipping, 2))

Items        : 47
Full boxes   : 7
Loose items  : 5
Boxes needed : 8
Shipping     : 284.0

Die if-Zeile wurde noch nicht behandelt — dafür sind die nächsten Kapitel da. Lies sie vorerst einfach nur: Wenn einzelne Artikel lose übrig bleiben, wird eine Kiste mehr gebraucht.

Wenn etwas schiefgeht

ZeroDivisionError: division by zero Etwas wurde durch null geteilt. Auch in der Mathematik ist das undefiniert, also stoppt Python. Du musst den Divisor vor dem Teilen prüfen — was leicht wird, sobald du Bedingungen kennst.

10 / 5 ergab 2.0, und ich brauche 2 Nutze // oder schreibe int(10 / 5). Das erste ist besser: Die Absicht ist im Code sichtbar.

// antwortet bei negativen Zahlen seltsam -7 // 2 ergibt -4, nicht -3. Python rundet ab, nicht auf null zu. Merkenswert, wenn du mit Negativzahlen arbeitest.

Die Rechnung sieht richtig aus, die Antwort stimmt aber nicht Zähle die Klammern und schreibe jeden Schritt in eine eigene Zeile und gib ihn aus. Der Fehler ist fast immer die Operatorrangfolge.

Ein langer Schwanz von Ziffern nach dem Dezimalpunkt Das ist kein Fehler — so verhalten sich Dezimalzahlen. Kürze es mit round(), wenn du es anzeigst.

Jetzt bist du dran

Schreibe eine Datei namens time_split.py, die eine Anzahl Sekunden in Stunden, Minuten und Sekunden aufteilt.

Starte mit total_seconds = 7385, und die Ausgabe soll so aussehen:

2 h 3 m 5 s

Drei Bedingungen:

1. Nutze nur // und % — tippe keines der Ergebnisse von Hand
2. Speichere die drei Werte in drei getrennten, sinnvoll benannten Variablen
3. Ändere dann total_seconds auf 59, 60, 3600 und 86399 und führe jede Zahl aus — prüfe, dass alle vier stimmen

Überspringe diesen letzten Schritt nicht. Ein Programm, das für einen Eingabewert funktioniert, funktioniert nicht; ein Programm, das auch an den Grenzen hält, schon.